EISENSTEIN (F. G. M.)

EISENSTEIN (F. G. M.)

EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe.

De 1833 à 1837, Eisenstein résidait à l’académie Cauer à Berlin-Charlottenburg, réputée par sa discipline quasi militaire, puis de 1837 à 1842 il fréquentait successivement les gymnases berlinois Friedrich-Wilhelm et Friedrich Werder. Parallèlement il suivit des cours de Dirichlet à l’université et, encouragé par le mathématicien K. Schellbach, il étudia les œuvres d’Euler, Lagrange et Gauss. Avant la fin de sa scolarité, Eisenstein accompagna sa mère en Angleterre et en Irlande, où son père s’était établi. Il emporta les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, y entama ses propres recherches sur les formes du troisième degré et sur la théorie des fonctions elliptiques et fit, à Dublin, la connaissance de W. R. Hamilton. De retour à Berlin, en 1843, Eisenstein passa son examen de fin d’études secondaires et s’inscrivit à l’université de Berlin. Il présenta à l’Académie des sciences un premier travail, que Crelle publia dans un journal, sur les formes cubiques à deux variables. Crelle introduisit le jeune Eisenstein auprès d’A. von Humboldt, qui lui manifesta le plus vif intérêt, le prit sous son amicale protection, s’employant à lui procurer un soutien financier. C’est muni d’une chaleureuse recommandation de Humboldt que, en 1844, Eisenstein, rendit visite à Gauss à Göttingen, qui le reçut très aimablement. Eisenstein obtint, en 1845, un doctorat honoraire de l’université de Breslau. En 1847, il fut habilité à enseigner et il fit comme privatdozent des cours sur la théorie des fonctions elliptiques, que Riemann suivit pendant le semestre d’été. F. Klein fait état de discussions qu’Eisenstein aurait eues avec Riemann sur l’introduction des grandeurs imaginaires dans la théorie des fonctions. Mais il ne semble pas y avoir eu un contact profond entre les deux hommes.

En 1848, Eisenstein participa aux réunions de clubs d’orientation démocratique, et, même s’il n’était pas directement mêlé aux combats révolutionnaires, il fut arrêté, emprisonné, puis relâché le lendemain. Les mauvais traitements qu’il subit perturbèrent gravement son état de santé. Séparé de sa famille, sans amis, sans vrais contacts avec les mathématiciens berlinois, Eisenstein végéta. Incapable de faire un enseignement suivi et régulier, il continua cependant à publier mémoire sur mémoire, sa puissance d’invention restant entière.

En mars 1852, Eisenstein fut élu membre de l’Académie des sciences de Berlin, mais quelques mois plus tard il mourut de tuberculose pulmonaire.

Ses travaux mathématiques portent surtout sur la théorie des nombres et sur les transcendantes elliptiques et abéliennes. Nombreuses sont ses contributions à la théorie des formes. Eisenstein a surtout étudié les formes quadratiques et cubiques et a, en particulier, calculé des covariants et des invariants pour les formes cubiques à deux variables (1844). Cayley a montré (en 1856) que ces invariants et covariants particuliers forment un système complet pour les formes de degré 3 à deux variables, c’est-à-dire que tout autre invariant est une combinaison linéaire des éléments du système complet.

Eisenstein s’est également occupé de cyclotomie, des nombres de Fermat, d’équations de Diophante de degré 3, de fonctions symétriques, etc.

Son nom restera toujours attaché au développement qui conduisit à la loi de réciprocité des résidus de la n -ième puissance. Gauss avait énoncé, sans démonstration, le théorème de réciprocité pour les résidus biquadratiques. Jacobi en donna une démonstration dans son cours à l’université de Koenigsberg (1836-1837). Eisenstein publia cinq démonstrations (les deux premières en 1844) et développa les théorèmes fondamentaux pour les résidus cubiques et biquadratiques.

Il s’est penché sur la partition des nombres premiers en sommes de carrés et eut des résultats sur la représentation comme somme de 2, 3, 4 et 5 carrés. Ce n’est qu’environ trente ans plus tard, lorsque l’Académie des sciences de Paris proposa la partition des nombres premiers en sommes de n carrés comme sujet du Grand Prix de mathématiques (1882), que les résultats d’Eisenstein furent cités.

Dans les années 1846-1847, Eisenstein publia plusieurs mémoires en théorie des fonctions elliptiques, qu’il réunit en un volume, paru en 1847 avec une préface de Gauss.

Les séries d’Eisenstein sont devenues partie intégrante de la théorie des fonctions modulaires. L’œuvre d’Eisenstein, mort très jeune, contient surtout en théorie des nombres, de nombreux résultats sans démonstrations qui ont été des stimulants puissants pour les recherches ultérieures.

Encyclopédie Universelle. 2012.